是的，您可以申请赔偿双倍工资。按照《劳动合同法》第八十二条的规定，如果公司未与您签订书面劳动合同，从第二个月起应该支付双倍工资。为了保障您的权益，建议您尽快采取行动。
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您可以向公司提出要求赔偿双倍工资的主张，同时可以考虑向劳动监察部门投诉。在处理过程中，建议先尝试与公司协商，如果协商无果，再采取法律途径。记得保留好相关证据，如工资条、工作记录等。
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您有权要求公司支付从入职第二个月起的双倍工资，如果未签订劳动合同。若协商无果，您可以向劳动仲裁机构申请仲裁，甚至向法院提起诉讼。请确保您手头有充足的证据，如社保缴纳记录、工资条等，以支持您的主张。