你在实习期间被老板直接辞工且未签劳动合同，若老板还拖欠你实习工资，这违反了《劳动合同法》的相关规定。根据《劳动合同法》第八十五条，用人单位未按照劳动合同的约定或者国家规定及时足额支付劳动者劳动报酬的，由劳动行政部门责令限期支付劳动报酬。你可以首先尝试与老板协商，若无果，建议到当地有管辖的劳动监察大队反映和投诉，甚至可以选择提起劳动仲裁来维权。
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若你想继续工作但老板坚持辞退，首先尝试与老板沟通了解辞退原因。若沟通无果，你可依据《劳动合同法》第四十八条，要求用人单位继续履行劳动合同。若用人单位拒绝，你可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求恢复劳动关系或获得相应赔偿。
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从法律角度看，你无需承担责任。相反，老板未签劳动合同并直接辞退你，违反了《劳动合同法》。根据法律规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，你不仅无需承担责任，还有权要求老板支付未签劳动合同期间的双倍工资及可能的经济补偿。